Question

（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。

   （1）求证：DE//平面ABC；

   （2）求二面角E—BC—A的余弦；

   （3）求多面体ABCDE的体积。

                          

 

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）二面角E—BC—A的余弦值为

（3）多面体DE—ABC的体积为V=V₁-V₂=

【解析】解：方法一：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则

                        

    平面ACD平面ABC

    平面ABC，作EF平面ABC，

    那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，

    ，易求得

    所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；

    平面ABC，平面ABC，

    平面ABC…………4分

   （2）作FGBC，垂足为G，连接FG；

    平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC

    就是二面角E—BC—A的平面角

   

   

   

    即二面角E—BC—A的余弦值为…………8分

   （3）平面ACD平面ABC，OBAC

    平面ACD；又

    平面DAC，三棱锥E—DAC的体积

   

    又三棱锥E—ABC的体积

    多面体DE—ABC的体积为V=V₁-V₂=…………12分

    方法二：（1）同方法一

   （2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面ABC的一个法向量为，

平面BCE的一个法向量为，所以

    又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为

                     

   （3）同方法一