题目内容
向量
，
满足|
|=|
|=1，|k
+
|=
|
-k
|，（k＞0）．
（1）求
•
关于k的解析式f（k）；
（2）请你分别探讨
⊥
和
∥
的可能性，若不可能，请说明理由，若可能，求出k的值；
（3）求
与
夹角的最大值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）请你分别探讨
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）求
| a |
| b |
分析：（1）对已知式子平方化简可得
•
，即得f（k）；（2）由于
•
=
＞0，故
与
不可能垂直．若
∥
，只可能同向，可得
•
=
=1，解此方程可得；（3）代入夹角公式可得cosθ=
=
(k+
)，由基本不等式可得其最值，由夹角的范围结合余弦函数的单调性可得．
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| ||||
|
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k |
解答：解：（1）由已知有|k
+
|2=（
|
-k
|）2，
又∵|
|=|
|=1，则可得
•
=
（k＞0）
即f（k）=
（k＞0）…（4分）
（2）∵k＞0，
•
=
＞0，故
与
不可能垂直．
若
∥
，又
•
＞0，则
与
只可能同向，
故有
•
=
=1，即k2-4k+1=0，
又k＞0，故k=2±
，
∴当k=2±
时，
∥
…（8分）
（3）设
，
的夹角为θ，则
cosθ=
=
•
=
=
(k+
)≥
×2
=
，
当且仅当k=
，（k＞0）即k=1时，取等号，即（cosθ）min=
，
又0≤θ≤π，故θ的最大值为
．…（12分）
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
又∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
即f（k）=
| k2+1 |
| 4k |
（2）∵k＞0，
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| a |
| b |
若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
故有
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
又k＞0，故k=2±
| 3 |
∴当k=2±
| 3 |
| a |
| b |
（3）设
| a |
| b |
cosθ=
| ||||
|
|
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| 4 |
k•
|
| 1 |
| 2 |
当且仅当k=
| 1 |
| k |
| 1 |
| 2 |
又0≤θ≤π，故θ的最大值为
| π |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积，涉及向量的共线与垂直以及基本不等式的应用，属中档题．
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