题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ $数学公式$ S_n为该数列的前n项和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式 $数学公式$ 对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．

解：（1）依题意作图如下：

∵图中x轴下方的等腰直角三角形与x轴上方、直线x=4及直线y=x-2组成的等腰直角三角形全等，
∴a₁= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ dx= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，又a₁= $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ =2，
，∴{ $\text{[math]}$ }是首项为2，公差为1的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ =2+（n-1）×1=n+1，
．∴ $\text{[math]}$ ．
（2）当n=1时， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
所以a＜26，而a是正整数，
所以取a=25，下面用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
（1）当n=1时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
则当n=k+1时，
有 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
＞ $\text{[math]}$ +[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]．
因为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0．
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
所以a的最大值等于25．
分析：（1）利用定积分可求得a₁= $\text{[math]}$ ，再利用递推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）当n=1时， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，于是a＜26，据题意取a=25，用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 即可．
点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，利用定积分求得a₁= $\text{[math]}$ 是应用递推关系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的关键，通过数学归纳法的应用，考查推理证明的能力，属于难题．