Question

【题目】已知数列{an}满足a1=a，an+1= （n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由an+1= ，可得a2= = ，a3= = = ，

a4= = =

（2）

解：猜测an= （n∈N*）．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=a1=a，

右边= =a，猜测成立．

②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，

即ak= ．

则当n=k+1时，ak+1= =

= = ．

故当n=k+1时，猜测也成立．

由①，②可知，对任意n∈N*都有an= 成立

【解析】（1）由an+1= ，可求a2 ， a3 ， a4；（2）猜测an= （n∈N*），再用数学归纳法证明．
【考点精析】利用数列的通项公式和数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．