Question

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)当点P(x₀，y₀)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(Ⅲ)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依题意，设抛物线的方程为，由结合， 　　解得． 　　所以抛物线的方程为． 　　(Ⅱ)抛物线的方程为，即，求导得 　　设，(其中)，则切线的斜率分别为，， 　　所以切线的方程为，即，即 　　同理可得切线的方程为 　　因为切线均过点，所以， 　　所以为方程的两组解． 　　所以直线的方程为． 　　(Ⅲ)由抛物线定义可知，， 　　所以 　　联立方程，消去整理得 　　由一元二次方程根与系数的关系可得， 　　所以 　　又点在直线上，所以， 　　所以 　　所以当时，取得最小值，且最小值为．