Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1．（1）求实数b值；（2）若不等式f（x）≥-2恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数y=f（x）存在最大值M（a），求M（a）的最小值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，
∴a+b+c=1，a-b+c=-1，解得 b=1，且 a+c=0．
（2）由上知 f（x）=ax²+x-a，
∵不等式f（x）≥-2恒成立，
∴ax²+x+2-a≥0 恒成立，
∴

a＞0 △ = 1 - 4a(2-a)≤0

，解得 0＜a≤1+

3

2

．
故实数a的取值范围为 {a|0＜a≤1+

3

2

}．
（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），f（x）=ax²+x-a，
故a＜0，且最大值 M（a）=

-4a2-1

4a

=（-a）+（

-1

4a

）≥2

1 4

=1，
当且仅当 （-a）=（

-1

4a

），即 a=-

1

2

 时，等号成立，
故M（a）的最小值为1．