Question

（2011•朝阳区二模）在长方形AA₁B₁B中，AB=2A₁=4，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点（如图）．将此长方形沿CC₁对折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如图），已知D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-A₁BE的体积．

Answer 1

分析：（1）取A₁B的中点F，连接DF，EF，由三角形中位定理，结合E是CC₁的中点，可证得四边形C₁EFD是平行四边形，进而C₁D∥EF，由线面平行的判定定理得到C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）由CC₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁C₁，可由线面垂直的判定定理得到CC₁⊥平面A₁C₁B₁．进而由线面垂直的第二判定定理得到BB₁⊥平面A₁C₁B₁，则BB₁⊥C₁D，由等腰三角形三线合一可得C₁D⊥A₁B₁，结合线面垂直的判定定理得到C₁D⊥平面AA₁B₁B，结合（I）中EF∥C₁D，可得EF⊥平面AA₁B₁B，最后由面面垂直的判定定理得到平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B
（Ⅲ）由已知可证得BC⊥平面A₁EC₁，即BC为三棱锥C₁-A₁BE的以△A₁EC₁为底面时的高，求出高及底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）取A₁B的中点F，连接DF，EF．（1分）
因为D，F分别是A₁B₁，A₁B的中点
所以DF是△A₁BB₁的中位线．（2分）
所以DF∥BB₁∥CC₁，且DF=

1

2

BB1=

1

2

CC1．
又因为E是CC₁的中点，
所以C1E=

1

2

CC1．
所以DF∥C₁E，且DF=C₁E．
所以四边形C₁EFD是平行四边形．（3分）
所以C₁D∥EF．
又EF?平面A₁BE，C₁D?平面A₁BE，（4分）
所以C₁D∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）因为CC₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩B₁C₁=C₁，
所以CC₁⊥平面A₁C₁B₁．
因为BB₁∥CC₁，所以BB₁⊥平面A₁C₁B₁．
因为C₁D?平面A₁C₁B₁，所以BB₁⊥C₁D．（6分）
又因为A₁C₁=C₁B₁，且D是A₁B₁的中点，所以C₁D⊥A₁B₁．（7分）
因为A₁B₁∩BB₁=B₁，所以C₁D⊥平面AA₁B₁B．（8分）
由（Ⅰ）知EF∥C₁D，
所以EF⊥平面AA₁B₁B．
又因为EF?平面A₁BE，
所以平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．（10分）
解：（Ⅲ）由已知，长方形AA₁B₁B沿CC₁对折后AC=BC=2，AB=2

2

．
所以AB²=AC²+BC²．
所以BC⊥AC，且BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C．
所以BC⊥平面AA₁C₁C．
即BC⊥平面A₁EC₁．（11分）
所以VC1-A1BE=VB-A1EC1=

1

3

S△A1EC1•BC．（12分）
其中S△A1EC1=

1

2

A1C1•C1E=

1

2

•2•1=1．
所以VC1-A1BE=VB-A1EC_=

1

3

S△A1EC1•BC=

1

3

•1•2=

2

3

．（13分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间线面关系的定义，判定，性质及相互转化是解答此类问题的关键．