Question

10．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．试用向量法证明E、F、G、H四点共面．

Answer 1

分析 画出图形，利用三角形的重心定义，结合平面向量的线性运算法则，得出$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$，
即证E、F、G、H四点共面．

解答 证明：分别延长PE、PF、PG、PH，交对边于M、N、Q、R点，
因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
所以M、N、Q、R为所在边的中点，
顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，
且有$\overrightarrow{PE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{PG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{PH}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PR}$；如图所示，

∴$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{MN}$+$\overrightarrow{MR}$=（$\overrightarrow{PN}$-$\overrightarrow{PM}$）+（$\overrightarrow{PR}$-$\overrightarrow{PM}$）
=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PE}$）+$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{PH}$-$\overrightarrow{PE}$）
=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$）；
又∵$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{PQ}$-$\overrightarrow{PM}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{PG}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{PE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$，
∴$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{EG}$=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$），
∴$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EH}$
由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．

点评 本题考查了平面向量线性运算与应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题目．