Question

．（本小题满分14分）
已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动
点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，
使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长
交椭圆于点，证明：；

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设可知：……………………………2分
故……………………………3分
故椭圆的标准方程为：……………………………4分
（Ⅱ）设，由可得：
……………………………5分
由直线OM与ON的斜率之积为可得：
 ，即……………………………6分
由①②可得：
M、N是椭圆上，故
故，即……………..8分
由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;….9分；
（Ⅲ）设
由题设可知………..10分
由题设可知斜率存在且满足………….③
…………………12分
将③代入④可得：
……⑤………….13分
点在椭圆，故
所以…………14分

略