Question

18．数列{a_n}的各项都为正数，且满足S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*），求数列的通项公式a_n．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$与S_n+1=$\frac{（{a}_{n+1}+1）^{2}}{4}$作差、整理可知a_n+1-a_n=2，进而可知数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*），
∴S_n+1=$\frac{（{a}_{n+1}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*），
两式相减得：4a_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-2a_n，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
∵数列{a_n}的各项都为正数，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=$\frac{（{a}_{1}+1）^{2}}{4}$，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．