Question

13．在三角形ABC中，已知AB=2，且$\frac{CA}{CB}$=2，则三角形ABC的面积的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设BC=a，则AC=2a，利用余弦定理可求得cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9{a}^{2}}{16}-\frac{3}{2}$，再利用三角形的面积公式可求得S_△ABC=asinB，继而可求$（{S}_{△ABC}）^{2}$=-$\frac{9}{16}（{a}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}+\frac{16}{9}$，从而可得△ABC面积的最大值．

解答 解：依题意，设BC=a，则AC=2a，又AB=2，
由余弦定理得：（2a）²=a²+2²-4a•cosB，
即3a²+4acosB-4=0，
∴cosB=$\frac{1}{a}-\frac{3a}{4}$，
∴cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9{a}^{2}}{16}-\frac{3}{2}$，
∴sin²B=1-cos²B=$\frac{5}{2}-\frac{9{a}^{2}}{16}-\frac{1}{{a}^{2}}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB=$\frac{1}{2}$×2asinB=asinB，
∴$（{S}_{△ABC}）^{2}$=a²sin²B=a²（$\frac{5}{2}-\frac{9{a}^{2}}{16}-\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{9}{16}{a}^{4}+\frac{5}{2}{a}^{2}-1$
=-$\frac{9}{16}$（a⁴-$\frac{40{a}^{2}}{9}$）-1=-$\frac{9}{16}（{a}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}+\frac{16}{9}$，
当a²=$\frac{20}{9}$，即a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$时，2、$\frac{2\sqrt{5}}{3}$、$\frac{4\sqrt{5}}{3}$能组成三角形，
∴$（{S}_{△ABC}{）^{2}}_{max}=\frac{16}{9}$，
∴三角形ABC的面积的最大值为$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得$（{S}_{△ABC}）^{2}$=-$\frac{9}{16}（{a}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}+\frac{16}{9}$是关键，属于难题．