Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=

3

sin2x+1-2sin²x-1化为（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，即可求得其周期；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函数的单调性可求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin2x+1-2sin²x-1=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+

π

6

）-1
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…8′
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
于是，当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-2；
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值1…14′

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查降幂公式与辅助角公式的应用及正弦函数的函数的单调性质，属于中档题．