题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是边长为1的正方形，
，
，且
，
为
的中点.
（I）求证：
平面
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（I）详见解析（II）
【解析】
试题分析：（I）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用三角形中位线得：连接
交
于点
，则
（II）求线面角，一般利用空间向量，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角的正弦值
试题解析：解：（I）连接，交于点，连接
，则
是
的中点.
又∵
是
的中点，∴
是
的中位线，
∴，又∵
平面
，
平面，
∴
平面.
（II）∵
，
，
，∴
平面
，
如图，以
为原点，分别以
，
，
为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，由
，
得，
，令
，则
，
，
∴
，又∵
，
∴
，
∴直线
与平面
所成角的正弦值为.
【题目】简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片。当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响。在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，并将各地销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y（单位：百万元） | 2 | 3 | 2 | 7 |
表中的数据显示，
与
之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
．
