Question

正三棱台ABC—A₁B₁C₁中，A₁B₁=2，AB=4，

（1）若三棱台的高为3，A₁B₁=2，AB=4，求侧棱长和侧面与底面所成的角的正切值；

（2）若三棱台的高为h，A₁B₁∶AB=1∶2，过B₁C₁且平行于相对侧棱AA₁的截面把这个三棱台分成两部分，求这两部分的体积比.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）如图，设正三棱台ABC—A1B1C1上下底面中心分别为O1、O，作O1E⊥B1C1，垂足为E，ED⊥BC，垂足为D，EF⊥OD于点F，C1G⊥CO于点G， 在Rt△CC1G中，C1G=3， CG=CO－C1O1=. ∴CC1=. 由作图可知，侧面与底面所成的角就是∠EDO. 在Rt△EDF中，EF=3，DF=DO－EO1=，∴tanEDF=. （2）设截面B1C1NM∥A1A，则B1M∥A1A∥C1M，几何体A1B1C1—AMN为三棱柱，再设三棱台的上下底面面积分别为S1、S2. ∵△A1B1C1∽△ABC，且A1B1∶AB=2∶4=1∶2，∴S1∶S2=1∶4，即S2=4S1. ∴V三棱台=h（S1++S2）=hS1，V三棱柱=S1h. ∴另一部分多面体的体积V=V三棱台－V三棱柱=hS1. ∴V三棱柱∶V=3∶4.