题目内容
外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得加工费近似地为
ln（2x+1）万美元，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中m∈（0，1）为该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为f（x）=
ln（2x+1）-mx万美元．
（Ⅰ）若美元贬值指数m=
，为确保实际所得加工费随x的增加而增加，加工产品订单的金额x应在什么范围内？
（Ⅱ）若加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为p=
x万美元，已知加工生产能力为x∈[10，20]（其中x为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m为何范围时，加工生产将不会出现亏损（即当x∈[10，20]时，都有f（x）≥p成立）．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）若美元贬值指数m=
| 1 |
| 200 |
（Ⅱ）若加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为p=
| 1 |
| 20 |
（Ⅰ）由已知m=
，
f(x)=
ln(2x+1)-
，其中x＞0．
所以f′(x)=
-
=
．
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
解得0＜x＜99.5．
即加工产品订单的金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，实际所得加工费随x的增加而增加．
（Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有
f(x)=
ln(2x+1)-mx≥
x．
可得
+m≤
．
令g(x)=
，x∈[10，20]．
则g′(x)=
=
．
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
则h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•
]=-2ln（2x+1）＜0．
可知h（x）在区间[10，20]上单调递减，h（x）最小值为h（20）=40-41ln41＜0，
最大值为h（10）=20-21ln21＜0，所以当x∈[10，20]时，g′（x）＜0，g（x）在区间[10，20]上单调递减，
因此g(x)min=
，即m≤
-
．
故当美元的贬值指数m∈(0，
)时，加工生产不会亏损．
| 1 |
| 200 |
f(x)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 200x |
所以f′(x)=
| 1 |
| 2x+1 |
| 1 |
| 200 |
| 199-2x |
| 200(2x+1) |
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
解得0＜x＜99.5．
即加工产品订单的金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，实际所得加工费随x的增加而增加．
（Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有
f(x)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 20 |
可得
| 1 |
| 20 |
| ln(2x+1) |
| 2x |
令g(x)=
| ln(2x+1) |
| 2x |
则g′(x)=
| ||
| 2x2 |
| 2x-(2x+1)ln(2x+1) |
| 2x2(2x+1) |
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
则h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•
| 2 |
| 2x+1 |
可知h（x）在区间[10，20]上单调递减，h（x）最小值为h（20）=40-41ln41＜0，
最大值为h（10）=20-21ln21＜0，所以当x∈[10，20]时，g′（x）＜0，g（x）在区间[10，20]上单调递减，
因此g(x)min=
| ln41 |
| 40 |
| ln41 |
| 40 |
| 1 |
| 20 |
故当美元的贬值指数m∈(0，
| ln41-2 |
| 40 |
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