Question

【题目】(本题满分15分)已知椭圆：过点，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得 ，解这个方程组即可得，从而得椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，的内切圆半径为，则，所以要使取最大值，只需最大. . 设直线的方程为 ，将代入可得，利用根与系数的关系可得，记，则，显然这个函数在上递减，当即时三角形的面积最大，由此可得.

试题解析：（Ⅰ）由题意得 解得

椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设，的内切圆半径为，则

所以要使取最大值，只需最大

设直线的方程为

将代入可得(*)

恒成立，方程(*)恒有解，

记

在上递减，

所以当即时，，此时.