Question

9、数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中p为常数．若存在实数p，使得数列{a_n}为等比数列，则数列{a_n}的通项公式a_n=

2ⁿ

．

Answer 1

分析：先根据数列递推式求得a₂和a₃，进而根据{a_n}为等比数列得到∴a²₂=a₁a₃，求得p，进而求得得a₂，则数列{a_n}的公比可得．最后根据等比数列的通项公式求得答案．

解答：解：a₂=pa₁+2=2p+2，a₃=pa₂+4=2p²+2p+4
∵数列{a_n}为等比数列
∴a²₂=a₁a₃即（2p+2）²=2（2p²+2p+4）
解得p=1
∴a₂=4
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ
故答案为2ⁿ

点评：本题主要考查了数列递推式的问题．考查了学生归纳和分析问题的能力．