题目内容

已知函数f（x）=lnx，g（x）= $数学公式$ （a＞0），设h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的单调区间；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 $数学公式$ 成立，求实数a的最大值．

解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+ $\text{[math]}$ ，其定义域为（0，+∞）．
h′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，令h′（x）= $\text{[math]}$ =0，则x=a
于是，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x＜a时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）的单调增区间为（a，+∞），h（x）的单调减区间是（0，a）．
（2）∵h′（x₀）= $\text{[math]}$ =k，
∴在区间（0，3]上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率h′（x₀）=k= $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 成立，
即a≤- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +x₀，等价于a≤ $\text{[math]}$ （x∈（0，3]）．
∵- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +x₀=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
于是a≤ $\text{[math]}$ ，即a的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于h′（x）= $\text{[math]}$ ，由h′（x）＞0，可求其单调增区间，h′（x）＜0可求其单调减区间；
（2）依题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率h′（x₀）=k= $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 成立?a≤ $\text{[math]}$ （x∈（0，3]），求得 $\text{[math]}$ 即可．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究曲线上某点切线方程，考查分析问题与等价转化解决问题的能力，属于中档题．