Question

如图ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到C₁点，则停止跳动；若5次内不能跳到C₁点，跳完五次也停止跳动，求：
（1）5次以内能到C₁点的跳法有多少种？
（2）从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？

Answer 1

解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，如果不回跳，那么跳三次可到达C₁点，
第一跳有3种；第二跳有2种；第三跳有1种，
根据乘法原理知共有N₁=3×2×1=6种．
（2）由题意知本题是一个分类计数问题，
由条件青蛙的跳法只可能出现两种情况，
其一跳三次到达C₁点，有6种跳法，
其二跳五次停止（前三次不到C₁点），有（3³-6）•3²=189，
故共有6+189=195种不同的跳法．
分析：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，如果不回跳，那么跳三次可到达C₁点，第一跳有3种；第二跳有2种；第三跳有1种，相乘得到结果．
（2）本题是一个分类计数问题，由条件青蛙的跳法只可能出现两种情况，其一跳三次到达C₁点，有6种跳法，其二跳五次停止（前三次不到C₁点），根据分类计数得到结果．
点评：本题考查加法原理和乘法原理，同时也考查了学生分析解答问题的能力，本题解题的关键是从已知分析得到，青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达，应从青蛙跳3次到达和青蛙一共跳5次后停止两种情况入手分析计算，本题是一个中档题目．