题目内容
21.（Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列｛cn+1－pcn｝为等比数列，求常数p;
（Ⅱ）设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列{cn}不是等比数列.
21.本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力.
解：
（Ⅰ）因为｛cn+1－pcn｝是等比数列，故有（cn+1－pcn）2＝（cn+2－pcn＋1）（cn－pcn－1），
将cn＝2n＋3n代入上式，得
［2n+1+3n+1－p（2n+3n）］2
=［2n+2+3n+2－p（2n+1+3n+1）］·［2n+3n－p（2n－1+3n－1）］，
即 ［（2－p）2n+（3－p）3n］2
=［（2－p）2n+1+（3－p）3n+1］［（2－p）2n－1+（3－p）3n－1］，
整理得 
（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，
解得 p=2或p=3.
（Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q，cn＝an＋bn.
为证{cn}不是等比数列只需证c
≠c1·c3.
事实上，c
=（a1p+b1q）2=a
p2+b
q2+2a1b1pq，
c1·c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=a
p2+b
q2+a1b1（p2+q2）.
由于p≠q，p2+q2>2pq，又a1、b1不为零，
因此c
≠c1·c3，故{cn}不是等比数列.
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