Question

（理） 设O为坐标原点，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当

QA

•

QB

取得最小值时，点Q的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由已知中O为坐标原点，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，我们可以设

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），求出向量

QA

，

QB

的坐标，代入空间向量的数量积运算公式，再根据二次函数的性质，可得到满足条件的λ的值，进而得到点Q的坐标．

解答：解：∵

OP

=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，
设

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ）
又∵向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，
∴

QA

=（1-λ，2-λ，3-2λ），

QB

=（2-λ，1-λ，2-2λ）
则

QA

•

QB

=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ²-16λ+10
易得当λ=

4

3

时，

QA

•

QB

取得最小值．
此时Q的坐标为（

4

3

，

4

3

，

8

3

）
故答案为：（

4

3

，

4

3

，

8

3

）

点评：本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，其中根据空间向量数量积的坐标运算公式，求出

QA

•

QB

的表达式，进而将问题转化为一个二次函数最值问题，是解答本题的关键．