Question

【题目】已知函数的图象过点．

（1）求的值并求函数的值域；

（2）若关于的方程在有实根，求实数的取值范围；

（3）若函数，则是否存在实数，对任意，存在使成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）

（3）存在，或

【解析】

（1）因为函数的图象过点，把点代入由即可求解.

（2）关于的方程在有实根，即有实根，

即函数与函数有交点，令，的值域即为实数的取值范围，

（3）对任意，存在使成立，

则，由单调递增，求出，令 ，则 ，

即或者恒成立在上，

分离参数即可求解.

（1）因为函数的图象过点，

所以，即，所以，

所以，因为单调递增，所以单调递增，

因为，所以，

所以函数的值域为.

（2）因为关于的方程在有实根，即有实根，

即函数与函数有交点，

令，则函数的图像与直线有交点，

又

任取且，则

所以，所以，

所以

所以

所以在上是减函数，

因为，所以，

所以

所以实数的取值范围为

（3）由题意对任意，存在使成立，

则，由（1）知，当时，单调递增，

所以，

又 ，

令 ，则 ，

所以恒成立，

所以或者恒成立在上，

即或者

令，则在上单调递增，所以

所以，即

令，函数在单调递减，在单调递增，

，

所以

所以

即

综上所述，存在或，对任意，存在使成立.