Question

 如图1­3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P ­ ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.

(1)求证：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

图1­3

Answer 1

解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.

又因为AB⊄平面PDE，

所以AB∥平面PDE.

因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG.

(2)因为PA⊥底面ABCDE，

所以PA⊥AB，PA⊥AE.

建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，＝(1，1，0)．

设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．

设直线BC与平面ABF所成角为α，则

sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.

设点H的坐标为(u，v，w)．

因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)．

即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.

因为n是平面ABF的一个法向量，

所以n·＝0，

即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，

解得λ＝，所以点H的坐标为.

所以PH＝＝2.