Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．
（3）求函数在区间[-5，5]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，根据函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]，利用二次函数的性质求得函数f（x）取得最值．
（2）由于函数f（x）对称轴为 x=-a，要使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，应有-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范围．
（3）分当-a≤-5、当-5≤-a≤5时、当-a≥5时三种情况，分别利用二次函数的性质求得g（a）．

解答：解：（1）当a=-1时，∵函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]，
故当x=1时，函数f（x）取得最小值为1，当x=-5时，函数f（x）取得最大值为 37．
（2）由于函数f（x）=x²+2ax+2的对称轴为 x=-a，要使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，
应有-a≤-5，或-a≥5，解得a≥5，或a≤-5，即a的范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）．
（3）由于函数在区间[-5，5]上的最小值为g（a），
故当-a≤-5，即a≥5时，函数f（x）在区间[-5，5]上是单调增函数，故最小值g（a）=f（-5）=27-10a．
故当-5≤-a≤5，即5≥a≥-5时，函数f（x）在区间[-5，5]上的最小值g（a）=f（-a）=2-a²．
故当-a≥5，即a≤-5时，函数f（x）在区间[-5，5]上是单调减函数，故最小值g（a）=f（5）=27+10a．
综上可得，当a≥5时，g（a）=f（-5）=27-10a；当 5≥a≥-5时，g（a）=f（-a）=2-a²； 当a≤-5时，g（a）=f（5）=27+10a．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．