Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在平面ABD₁内，过A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，连接CE，证明∠AEC为二面角A-BD₁-C的平面角，利用余弦定理，可求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）利用等体积，求出BD₁与平面ACD₁的距离，即可求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

解答：解：（1）在平面ABD₁内，过A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，连接CE

△AD₁B与△CD₁B中，AB=BC，AD₁=CD₁，BD₁=BD₁，∴△AD₁B≌△CD₁B，
∴AE=CE
∵AE⊥BD₁，∴CE⊥BD₁，
∴∠AEC为二面角A-BD₁-C的平面角
∵AB⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，∴AB⊥AD₁，∴△ABD₁是Rt△，
设正方体的棱长为1，AD₁=

2

，BD₁=

3

，
由等面积可得AE•BD₁=AD_1•AB，∴AE=

6

3

，
在△AEC中，根据余弦定理，cos∠AEC=

AE2+CE2-AC2

2AE•CE

=-

1

2

∴∠AEC=120°，即二面角A-BD₁-C的大小为120°；
（2）设BD₁与平面ACD₁所成角为θ，BD₁与平面ACD₁的距离为h，则
由VB-ACD1=VD1-ABC可得

1

3

×

3

4

×2×h=

1

3

×

1

2

×1×1×1
∴h=

3

3

∵BD1=

3

，∴sinθ=

h

BD1

=

1

3

∴BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值为

1

3

．

点评：本题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角，考查三棱锥体积公式的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．