Question

设函数f(x)＝2x³－3(a＋1)x²＋6ax＋8，其中a∈R．

(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；

(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)． 　　因为f(x)在x＝3处取得极值， 　　所以(3)＝6(3－a)(3－1)＝0．解得a＝3．经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点． 　　(2)令(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，得x1＝a，x2＝1．当a＜1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则(x)＞0， 　　所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数． 　　故当0≤a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则(x)＞0， 　　所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数．从而f(x)在(－∞，0)上也为增函数． 　　综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． 　　解析：(1)根据(3)＝0列方程求a的值；(2)根据(x)＞0在x∈(－∞，0)上恒成立讨论a的范围．