Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=

3

b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=

3

2

，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，结合题意化简得b²+c²-bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵△ABC中，2asinB=

3

b，
∴根据正弦定理，得2sinAsinB=

3

sinB，
∵锐角△ABC中，sinB＞0，
∴等式两边约去sinB，得sinA=

3

2

∵A是锐角△ABC的内角，∴A=

π

3

；
（2）∵a=4，A=

π

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得16=b²+c²-2bccos

π

3

，
化简得b²+c²-bc=16，
∵b+c=8，平方得b²+c²+2bc=64，
∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．
因此，△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×16×sin

π

3

=4

3

．

点评：本题给出三角形的边角关系，求A的大小并依此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理的运用和三角形的面积公式等知识，属于中档题．