Question

设0＜x＜1,a＞0且a≠1,试比较|log_a(1－x)|与|log_a(1+x)|的大小

Answer 1

答案：
解析：

解法一：作差法 |loga(1－x)|－|loga(1+x)|=| |－|| =(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|) ∵0＜x＜1,∴0＜1－x＜1＜1+x ∴上式=－[（lg(1－x)+lg(1+x)]=－·lg(1－x2) 由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0， ∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)| 解法二：作商法 =|log(1－x)(1+x)| ∵0＜x＜1,∴0＜1－x＜1+x ∴|log(1－x)(1+x)|=－log(1－x)(1+x)=log(1－x) 由0＜x＜1,∴1+x＞1,0＜1－x2＜1 ∴0＜(1－x)(1+x)＜1, ∴＞1－x＞0 ∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)=1 ∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)| 解法三：平方后比较大小 ∵loga2（1－x）－loga2(1+x)=[loga(1－x)+loga(1+x)][loga（1－x）－loga(1+x)] =loga(1－x2)·loga =·lg(1－x2)·lg ∵0＜x＜1,∴0＜1－x2< /span>＜1,0＜＜1 ∴lg(1－x2)＜0,lg＜0 ∴loga2(1－x)＞loga2(1+x) 即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)| 解法四：分类讨论去掉绝对值 当a＞1时， |loga（1－x）|－|loga(1+x)| =－loga(1－x)－loga(1+x) =－loga(1－x2) ∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1 ∴loga(1－x2)＜0,∴－loga(1－x2)＞0 当0＜a＜1时，由0＜x＜1,则有loga（1－x）＞0,loga(1+x)＜0 ∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|=|loga(1－x)+loga(1+x)|=loga(1－x2)＞0 ∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|