Question

将Rt△ABC沿直角的角平分线CD折成直二面角（平面ACD⊥平面BCD），则∠ACB的度数是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．由直角边的长短决定

Answer 1

分析：过B作BE⊥CD，由题意得到BE⊥平面ACD，进而得到AE与BE垂直，要求出AB的长，即要求出BE与AE的长，利用勾股定理解决，在三角形BCE中，由∠BCE=45°得到此三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BE的长；在直角三角形ACE中，利用余弦定理求出AE的长，进而表示出AB的长，在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，求出cos∠ACB的值，由∠ACB为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ACB的度数．

解答：解：过B作BE⊥CD，由题意得到BE⊥平面ACD，
∴BE⊥AE，连接AB，可得△ABE为直角三角形，
∵折叠前，CD为∠ACB的角平分线，
∴∠BCE=∠ACE=45°，
设AC=b，BC=a，在△BCE中，BE=CE=

2

2

a，
在△ACE中，由余弦定理得：AE²=b²+（

2

2

a）²-2b•

2

2

a•cos45°=

1

2

a²+b²-ab，
根据勾股定理得：AB²=BE²+AE²=a²+b²-ab，
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=a²+b²-2abcos∠ACB=a²+b²-ab，
∴cos∠ACB=

1

2

，∠ACB为锐角，
则∠ACB=60°．
故选B

点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，以及直二面角，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．