Question

已知函数f（x）=2sin

x

4

•cos

x

4

+

3

cos

x

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f(x+

π

3

)，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin

x

4

•cos

x

4

+

3

cos

x

2

，为y=2sin(

x

2

+

π

3

)，
（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（2）求出g（x）=f(x+

π

3

)的表达式，g（x）=2cos

x

2

．然后判断出奇偶性即可．

解答：解：（1）∵f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．
当sin(

x

2

+

π

3

)=-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin(

x

2

+

π

3

)=1时，f（x）取得最大值2．
（2）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin(

x

2

+

π

3

)，
又g（x）=f(x+

π

3

)，
∴g（x）=2sin[

1

2

(x+

π

3

)+

π

3

]
=2sin(

x

2

+

π

2

)=2cos

x

2

．
∵g（-x）=2cos(-

x

2

)=2cos

x

2

=g（x），
∴函数g（x）是偶函数．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．