Question

已知：四棱锥P―ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD， E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA＝45°

   （1）求证：AF∥平面PCE；

   （2）求证：平面PAC⊥PBD；

   （3）点D到平面PCE的距离.

Answer 1

解：（1）取PC的中点为G，连结FG、EG，

∵，

，

∴，∴四边形AFGE为平行四边形，

∴AF//EG，又∵，

∴AF//平面PCE 

   （2）连接AC,BD,∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD,

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD

∴BD⊥平面PAC，而，∴：平面PAC⊥PBD     

   （3）可证,平面平PCE⊥平面PDC,过点D作DH⊥PC于H，∴DH⊥平面PEC

即DH的长为点D到平面PEC的距离。

在Rt△PAD中，PA=AD=a，

在Rt△PDC中，

即点D到平面PCE的距离为。