题目内容
椭圆C的中心为原点， 右焦点F（
，0）， 以短轴的两端点及F为顶点的三角形恰为等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C内的一点P（0，
）作直线l交椭圆C于M、 N，求MN中点Q的轨迹方程；
（3）在（2）条件下，求△OMN的面积最大值.
【答案】
（1）设椭圆C的标准方程为
，
∵ 右焦点为F（
，0） ∴ 
又∵ △B1FB2为正三角形 ∴ 
结合 
得 
，
∴ 椭圆C的标准方程是
………………………………… 4分
（2）设Q（x，y），M（
，
），N（
，
）
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为
代入 得 
∴ 
，
…………………… 6分
∴ 
消去k得 
…………………………… 8分
又∵ k不存在时，点Q为（0，0）也满足上述方程，
∴ 线段MN的中点Q的轨迹方程是 
……… 9分
（3）由（2）知，M（，），N（，），直线l的方程为
代入 得
∴ ，
∴ 
………………………………………………… 11分
又∵ 原点O到直线l的距离为
∴ 
……………… 12分
设
∴ 
∴ △OMN面积的最大值为
……………………………………… 14分
练习册系列答案
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