Question

3．设S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若2S_n=3ⁿ+3．求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（Ⅱ）利用“累加求和”可得a_n，再求出数列的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=3ⁿ+3，
∴当n=1时，2a₁=3+3，解得a₁=3．
当n≥2时，2S_n-1=3^n-1+3，
可得2a_n=3ⁿ-3^n-1，解得a_n=3^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）∵a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评 本题考查了递推关系的应用、考查了“累加求和”、等比数列的前n项和公式，属于中档题．