题目内容

设、分别是椭圆：的左右焦点。

（Ⅰ）设椭圆上的点到两点、距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

(Ⅲ）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为， ，试探究的值是否与点及直线有关，不必证明你的结论。

（Ⅰ）椭圆C的方程为  

（Ⅱ） (Ⅲ）的值与点P的位置无关，同时与直线L无关


解析:

（Ⅰ）由于点在椭圆上， ……………………… 1分

2=4,                                            ………………………2分  

椭圆C的方程为                        ………………………3分

焦点坐标分别为               ………………………4分

（Ⅱ）设的中点为B（x, y）则点 ………………………5分

把K的坐标代入椭圆中得………7分

线段的中点B的轨迹方程为   ………………8分

（Ⅲ）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 

设                  

在椭圆上，应满足椭圆方程，得  ……10分

          ………………11分

==       ………………13分

故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，………………14分

练习册系列答案
相关题目
（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
已知点P（-1，
3
2
）是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．
已知点P（-1，
3
2
）是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
①求椭圆C的方程；
②设A、B是椭圆C上两个动点，满足：
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．
（2013•安徽）设椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

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