Question

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（1）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．
（2）若a₂，a₃，a₁不成等比数列，求数列{

1

anan+1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由等差数列通项公式即可得出a_n；利用等比数列的定义可判定a₂，a₃，a₁是否成等比数列，通过对a_n与0的大小关系分类讨论，
即可得出数列{|a_n|}的前n项和为S_n．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意得

3a1+3d=-3 a1(a1+d)(a1+2d)=8

 解得

a1=2 d=-3

或

a1=-4 d=3

．
∴a_n=2-3（n-1）=-3n+5或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
当a_n=3n-7时，a₂，a₃，a₁分别为-1，2，-4，成等比数列，满足条件．
设数列{|a_n|}的前n项和为S_n．
∴当n=1，2时，|a_n|=7-3n，Sn=

n(4+7-3n)

2

=-

3

2

n2+

11

2

n；
当n≥3时，|a_n|=3n-7，
S_n=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n
=5+

(n-2)(2+3n-7)

2

=

3

2

n2-

11

2

n+10，
综上可得：|a_n|=|7-3n|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

Sn=

- 3 2 n2+ 11 2 n，n=1，2 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥3

（2）当a_n=-3n+5时，a₂，a₃，a₁分别为-1，-4，2，不成等比数列．

1

anan+1

=

1

(3n-5)(3n-2)

=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，
∴Tn=

1

3

[(-

1

2

-1)+(1-

1

4

)+…+(

1

3n-5

-

1

3n-2

)]
=

1

3

[-

1

2

-

1

3n-2

]
=

n

-6n+4

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与前n项和公式、含绝对值符号的数列的求和问题、分类讨论、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．