Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n的公式；
（3）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，…，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）将已知转化成基本量，先有{a_n}的条件求出公比q²=

a3

a1

，要注意讨论q的值的情况，再由等差数列{b_n}满足b₁+b₂+b₃+b₄=26进而求出d，得到b_n；
（2）利用等差数列的前n项和公式可得结果；
（3）由已知可得b₁，b₄，b₇，b_3n-2组成以b₁=2为首项，3d为公差的等差数列，而b₁₀，b₁₂，b₁₄，b_2n+8组成以b₁₀=29为首项，2d为公差的等差数列，求出P_n和Q_n后，作差比较，得到关于n的函数关系式，讨论n的情况可得结果．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，由a₃=a₁q²得q²=

a3

a1

=9，q=±3．
当q=-3时，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
这与a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
当q=3时，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合题意．
设数列{b_n}的公差为d，由b₁+b₂+b₃+b₄=26得4b₁+

4×3

2

d=26．
又b₁=2，解得d=3，所以b_n=3n-1．
（2）S_n=

n(b1+bn)

2

=

3

2

n²+

1

2

n．
（3）b₁，b₄，b₇，b_3n-2组成以3d为公差的等差数列，
所以P_n=nb₁+

n(n-1)

2

•3d=

9

2

n²-

5

2

n；
b₁₀，b₁₂，b₁₄，b_2n+8组成以2d为公差的等差数列，b₁₀=29，
所以Q_n=nb₁₀+

n(n-1)

2

•2d=3n²+26n．
P_n-Q_n=（

9

2

n²-

5

2

n）-（3n²+26n）=

3

2

n（n-19）．
所以，对于正整数n，当n≥20时，P_n＞Q_n；
当n=19时，P_n=Q_n；
当n≤18时，P_n＜Q_n．

点评：本题考查等差数列、等比数列等基本知识，属于基础题目，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．