Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N*，则S₁+S₂+…+S₁₀₀=

1

3

(

1

2100

-1)

．

Answer 1

分析：由递推式求出数列的首项，当n≥2时分n为偶数和奇数求出a_n，代入S n=(-1)nan-

1

2n

，n∈N*后分组，然后利用等比数列的前n项和公式求解．

解答：解：由Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，
当n=1时，a1=S1=(-1)1a1-

1

2

，a1=-

1

4

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(-1)nan-

1

2n

-(-1)n-1+

1

2n-1

，
即an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

．
若n为偶数，则an-1=-

1

2n

(n≥2)，
∴an=-

1

2n+1

（n为正奇数）；
若n为奇数，则an-1=-2an+

1

2n

=(-2)•(-

1

2n+1

)+

1

2n

=

1

2n-1

．
∴an=

1

2n

（n为正偶数）．
则-a1=-(-

1

22

)=

1

22

，a2=

1

22

，-a1+a2=2×

1

22

．
-a3=-(-

1

24

)=

1

24

，a4=

1

24

，-a3+a4=2×

1

24

．
…
-a99+a100=2×

1

2100

．
∴S₁+S₂+…+S₁₀₀=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a₉₉+a₁₀₀）-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2(

1

4

+

1

16

+…+

1

2100

)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2•

1 4 (1- 1 450 )

1- 1 4

-

1 2 (1- 1 2100 )

1- 1 2

=

1

3

(

1

2100

-1)．
故答案为：

1

3

(

1

2100

-1)．

点评：本题考查了数列的和的求法，考查了分组求和，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，是中档题．