Question

（本小题满分12分）
设定义在区间上的函数的图象为，是上的任意一点，为坐标原点，设向量=，，，当实数λ满足x="λ" x₁+(1－λ) x₂时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指 “恒成立”，其中是一个确定的正数．
（1）求证：三点共线;
（2）设函数在区间[0，1]上可在标准下线性近似，求的取值范围；
（3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似.
（参考数据：=2.718，）

Answer 1

（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线。
（2）k的取值范围是．（3）见解析。

试题分析：（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线。  ………… 2分
（2）由x="λ" x₁+(1－λ) x₂与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．…4分
对于 [0，1]上的函数y=x²，A(0，0)，B(1，1)， 则，故；
所以k的取值范围是．                     ……………………………………………  6分
（3）对于上的函数，A()，B()，    
则直线AB的方程，        ………………………………………………8分
令，其中，于是， …10分
列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		减	0

则，且在处取得最大值，
又0.123，从而命题成立． …………………………………12分
点评：本题是在新定义下考查向量共线知识以及利用导数求闭区间上函数的最值，是对知识的综合考查，属于难题．理解定义是关键．