Question

如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示，
（1）求该几何体的表面积及体积；
（2）求异面直线AC，BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由几何体的直观图与左视图、俯视图判断几何体各面的形状，利用左视图与俯视图给出的数据求各面的面积，再求和可得几何体的表面积；判断四棱锥的高于底面，利用棱锥的体积公式计算可求其体积．
（2）建立空间直角坐标系，给出相关点A、C、B，D的坐标，求出向量

CA

，

BD

的坐标，利用向量坐标运算求向量夹角的余弦值．

解答：解：（1）由左视图知四棱锥的底面为直角梯形，AE=2，CD=4，BC=2，∴S_ACDE=

4+2

2

×2=6
由俯视图知△ABC为等腰直角三角形，∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2；
侧面△BCD为直角三角形，S_△BCD=

1

2

×4×2=4；
侧面△ABE为直角三角形，AB=2

2

，∴S_△ABE=

1

2

×2×2

2

=2

2

；
BE=

AB2+AE2

=

4+8

=2

3

，DE=

4+4

=2

2

，BD=2

5

∵BE²+DE²=BD²，△BDE为直角三角形，∴S_△BDE=

1

2

×2

3

×2

2

=2

6

，
∴几何体的表面积为S=12+2

2

+2

6

；
由几何体的左视图与俯视图知：BC为四棱锥的高，且BC=2，
∴V_B-ACDE=

1

3

×6×2=4．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），

CA

=（2，0，0），

BD

=（0，-2，4），
cos＜

CA

，

BD

＞=

CA • BD

| CA || BD |

=

4

2×2 5

=

5

5

，
∴异面直线AC，BD所成的角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，考查了用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，正确运用三视图的数据是解答本题的关键．