Question

求证：3ⁿ＞（n+2）2^n-1（n∈N^*，且n＞2）

Answer 1

分析：把3ⁿ =（1+2）ⁿ按二项式定理展开，在进行放缩，即可证得不等式成立．

解答：证明：∵3n=(1+2)n=1+2

C

1 n

+22

C

2 n

+…+2n-1

C

n-1 n

+2n

C

n n

，
又∵n∈N^*，且n＞2
∴展开式至少有4项，
∴3n=(1+2)n＞2n-1

C

n-1 n

+2n

C

n n

=n2n-1+2n=(n+2)2n-1，
故不等式成立．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，用放缩法证明不等式，属于中档题．