Question

甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．

（1）证明：是一个常数；

（2）求与的关系式；

（3）求的表达式．

 

Answer 1

【答案】

（1）利用农药的重量始终不变得到其和为定值；（2） ；（3）．

【解析】

试题分析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，n次操作后，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而

（常数）．          4分

（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得  ①            8分

（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．

由①，

由等比数列的通项公式知：，

所以．                       12分

考点：本题考查了数列的运用

点评：数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的地位，涉及的实际应用问题广泛而多样．如银行信贷、增长率、养老保险等，运用数列解决实际问题时应在认真审题的基础上，弄清楚问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列的问题