Question

函数。定义数列如下：是过两点的直线与x轴交点的横坐标。
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。

Answer 1

解：（1）因为，
故点在函数的图像上，
故由所给出的两点，
可知，直线斜率一定存在。
故有直线的直线方程为，令，
可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，
则当时，，
由
即也成立
综上可知对任意正整数恒成立。
下面证明
由
由，
故有
即
综上可知恒成立。
（2）由得到该数列的一个特征方程
即，解得或    ①     ②
两式相除可得，而
故数列是以为首项以为公比的等比数列

故。