Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）判断f（x）在[1，+∞）内单调性并用定义证明；
（Ⅲ）求f（x）在区间[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）要是函数有意义，只要x≠0即可；由函数奇偶性的定义，只要判断f（-x）和f（x）的关系即可；
（II）由函数单调性的定义，在（-∞，-2）上任取两个自变量，做差比较两个函数值的大小即可．
（III）由（I）知f（x）是奇函数，由（II）知f（x）在[1，+∞）内是增函数．得出f（x）在[-3，-1]上是增函数从而求得其最小值．

解答：解：（I）由题意可知x≠0，
∵f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)∴f（x）是奇函数（3分）
（II）f（x）在[1，+∞）内是增函数．（5分）
证明：设x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)

(x1x2-1)

x1x2

∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[1，+∞）内是增函数．（9分）
（III）由（1）知f（x）是奇函数，由（2）知f（x）在[1，+∞）内是增函数．
∴f（x）在[-3，-1]上是增函数
∴当x=-3时，f（x）有最小值为-

10

3

（12分）

点评：本题考查求函数的定义域问题、函数单调性和奇偶性的判断和证明，属基本题型、基本方法的考查，难度不大．解答关键是对于函数的性质、概念要理解到位．