Question

已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且

An

Bn

-

24

n+3

=7，则使得

an

bn

为整数的正整数n一共有

5

个．

Answer 1

分析：利用等差数列前n项和与中间项之间的关系解题

解答：解：由

An

Bn

-

24

n+3

=7，得

An

Bn

=

7n+45

n+3

．
∵数列{a_n}和{b_n}是等差数列，
由等差数列的前n项和及等差中项，可得

an

bn

=

1 2 (a1+a2n-1)

1 2 (b1+b2n-1)

=

1 2 (2n-1)(a1+a2n-1)

1 2 (2n-1)(b1+b2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

(2n-1)+3

=7+

12

n+1

（n∈N^*）．
故n=1，2，3，5，11时，

an

bn

为整数．
使得

an

bn

为整数的正整数n一共有5个．
故答案为：5．

点评：本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，则有如下关系

an

bn

=

A2n-1

B2n-1

．此题是中档题．