Question

已知点B（0，t），点C（0，t-4）（其中0＜t＜4），直线PB、PC都是圆M：（x-1）²+y²=1的切线．
（Ⅰ）若△PBC面积等于6，求过点P的抛物线y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）若点P在y轴右边，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用△PBC面积等于6，确定P的坐标，结合直线PB与圆M相切，即可求过点P的抛物线y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）确定PB，PC的方程，求出P的横坐标，表示出△PBC面积，即可求得最小值．
解答：解：（Ⅰ）设P（x_p，y_p），由已知x_p＞0，
∵，∴x_p=3，∴，（2分）
设直线PB与圆M切于点A，
∵，∴PA=2，
∵M（1，0）∴，∴，
∴，∴（6分）
（Ⅱ）∵点 B（0，t），点C（0，t-4），（7分）
∴两条切线方程为：，（9分）
∴，
∴，
∵0＜t＜4，∴x_p＜0或，
∵x_p＞0，∴，（13分）
∴，
又∵t=2时，，∴△PBC面积的最小值为（15分）
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．