Question

设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(0，)的距离比点P到x轴的距离大．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若直线l：y=x+1与点P的轨迹相交于A、B两点，求线段AB的长；

(3)设点P的轨迹是曲线C，点Q(1，y₀)是曲线C上一点，求过点Q的曲线C的切线方程．

Answer 1

(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为x²=2y

(2)联立y=x+1与x²=2y化简得x²-2x-2=0

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=2，x₁x₂=-2

|AB|= 

(3)曲线C即函数y=的图像，y′=x，

y′=1，又Q(1，)

故所求切线方程为y-=1·(x-1)即x-y-=0