Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）若-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于函数解析式为f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R，所以利用解析式及判断函数的奇偶性的方法，对a进行分类讨论即可；
（2）由于-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值，且解析式含有绝对值，所以利用对a的讨论把解析式具体化，之后利用二次函数性质求出定义域下的值域即可．

解答：解：（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），
此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），此时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x≤a时，
f（x）=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

∵a≤

1

2

，故函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
∵a≥-

1

2

故函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）
=a²+1．
综上得，当-

1

2

≤a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为a²+1．

点评：此题考查了学生分类讨论的思想，奇函数与偶函数的判定，还考查了绝对值函数的拖绝对值的讨论及二次函数在定义域下求值域．