Question

16．已知x_i∈[0，π]，i=1，2，3，…，n，则有
①sinx₁=sinx₁
②sinx₁+sinx₂≤2sin$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$
③sinx₁+sinx₂+sinx₃≤3sin$\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}}}{3}$
④sinx₁+sinx₂+sinx₃+sinx₄≤4sin$\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}$
由上述结论类比，猜想得到一般的结论是：$sin{x_1}+sin{x_2}+…+sin{x_n}≤nsin\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$．

Answer 1

分析 根据所给不等式，即可类比得出结论．

解答 解：根据①sinx₁=sinx₁
②sinx₁+sinx₂≤2sin$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$
③sinx₁+sinx₂+sinx₃≤3sin$\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}}}{3}$
④sinx₁+sinx₂+sinx₃+sinx₄≤4sin$\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}$
猜想得到一般的结论是$sin{x_1}+sin{x_2}+…+sin{x_n}≤nsin\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$．
故答案为：$sin{x_1}+sin{x_2}+…+sin{x_n}≤nsin\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$．

点评 合情推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论．结论的正确与否，必须经过证明．