题目内容

已知椭圆
x2
4
+
y2
1
=1，点M（2，3）过M点引直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x，y），直线AB：y-3=k（x-3）
则x12+4y12=4①，x22+4y22=4②
①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
整理得：
4(y1+y2)
x1+x2
•
y1-y2
x1-x2
=-1
化简得：k=
y1-y2
x1-x2
=-
4y
x
代入y-3=k（x-2）
整理得：x2+4y2-3x-12y=0，即为AB的中点P的轨迹方程
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆
x24
+y2=1的左、右两个顶点分别为A，B，直线x=t（-2＜t＜2）与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．
（1）求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；
（2）当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．
已知椭圆
x2
4
+y2=1，过E（1，0）作两条直线AB与CD分别交椭圆于A，B，C，D四点，已知kAB•kCD=-
1
4
．
（1）若AB的中点为M，CD的中点为N，求证：①kOM•kON=-
1
4
为定值，并求出该定值；②直线MN过定点，并求出该定点；
（2）求四边形ACBD的最大值．
如图，已知椭圆
x2
4
+y2=1，弦AB所在直线方程为：x+2y-2=0，现随机向椭圆内丢一粒豆子，则豆子落在图中阴影范围内的概率为
π-2
4π
π-2
4π
．
（椭圆的面积公式S=π•a•b，其中a是椭圆长半轴长，b是椭圆短半轴长）
（2011•朝阳区三模）已知椭圆
x2
4
+y2=1的焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则点P的纵坐标可以是（　　）
已知椭圆
x24
+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．
（1）求AB中点P的轨迹方程；
（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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