Question

如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，E、F分别为SA、SC的中点．如果AB=BC=2，AD=1，SB与底面ABCD成60°角．
（1）求异面直线EF与CD所成角的大小（用反三角形式表示）；
（2）求点D到平面SBC的距离．

Answer 1

分析：（1）法一：连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后用反三角表示即可．
法二：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系，求出异面直线EF与CD的方向向量，利用向量的夹角公式求出夹角即可；
（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°，然后根据等体积法建立等式关系

1

3

SBCD×SA=

1

3

S△SBC×h，求出h即为点D到平面SBC的距离．

解答：解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．
计算得：AC=2

2

，CD=

5

   cos∠ACD=

3 10

10

，
所以异面直线 EF与CD成arccos

3 10

10

角．
另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系
计算SA=2

3

   

FE

=(1，-1，0)、

CD

=(2，-1，0)
计算得cosα=

3 10

10

，所以异面直线 EF与CD成arccos

3 10

10

角
（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°
计算得：SA=2

3

，SB=4，S△SBC=4S_△BCD=2
由于

1

3

SBCD×SA=

1

3

S△SBC×h
所以h=

3

点评：本题主要考查了两异面直线所成角，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．